:: Oggi è Mercoledì 11 Maggio 2005 ::

2. Il Linguaggio della Matematica
Con il linguaggio dell'aritmetica, infatti, non è possibile enunciare relazioni matematiche universali, come il teorema di Pitagora, ma se ne possono trattare solo casi particolari. La relazione aritmetica 3² + 4² = 5² è ad esempio l'applicazione della legge generale prescritta dal teorema di Pitagora al caso particolare di un triangolo rettangolo di ipotenusa pari a 5, e di cateti lunghi rispettivamente 3 e 4. Nel linguaggio dell'algebra diventa possibile esprimere tale legge in tutta la sua generalità, utilizzando dei simboli letterali per rappresentare le misure dei lati del triangolo; il teorema si scriverà dunque a² + b² = c², e in questa forma può essere applicato a qualsiasi triangolo rettangolo.

Nell'algebra classica, che consiste sostanzialmente in teorie di risoluzione delle equazioni, sui simboli letterali agiscono le comuni operazioni aritmetiche: l'algebra moderna, invece, si è evoluta rispetto a quella classica, con una maggiore attenzione alle strutture astratte. I matematici considerano l'algebra moderna come un insieme di oggetti nel quale sono definite regole che stabiliscono tra essi vari tipi di relazioni; come tale, nella sua forma più generale, l'algebra si può di fatto definire il “linguaggio della matematica”. abspharm.com

3. Notizie Storiche
La storia dell'algebra ha inizio nelle civiltà dell'antico Egitto e di Babilonia, dove già erano note le soluzioni di equazioni lineari (del tipo ax = b) e quadratiche (come ax² + bx = c), e di alcune equazioni indeterminate a più incognite (ad esempio x² + y² = z²). Le equazioni di secondo grado venivano risolte dai babilonesi con un procedimento ancora in uso ai giorni nostri.

4. Simboli e Segni Grafici
I simboli dell'algebra comprendono i numeri, le lettere e i segni delle operazioni. I numeri sono naturalmente costanti, mentre le lettere possono rappresentare sia quantità costanti, sia quantità variabili. Le lettere usate per la rappresentazione delle costanti sono generalmente quelle iniziali dell'alfabeto; per le variabili invece si adottano di solito alcune delle ultime lettere dell'alfabeto.

5. Operazioni con i Polinomi
Nelle operazioni tra polinomi valgono le comuni leggi dell'aritmetica, ma, mentre il dominio di applicazione dell'aritmetica è l'insieme dei numeri razionali, l'algebra e la geometria utilizzano i numeri reali, ovvero l'insieme dei numeri razionali e irrazionali, e i numeri complessi.

6. Moltiplicazione tra polinomi
Quello che segue è un esempio di prodotto tra un binomio e un monomio:

(ax + b) (cx²) = acx³ + bcx²

Mediante un procedimento analogo si può calcolare il prodotto fra polinomi di un numero qualunque di termini: in tal caso si moltiplica ciascun termine di un polinomio per ogni termine dell'altro.
Quando è possibile, dopo aver eseguito l’operazione, è conveniente semplificare l'espressione "raccogliendo" ordinatamente tutti i termini dello stesso grado.

7. Fattorizzazione di Polinomi
Data un'espressione algebrica complicata, spesso è utile fattorizzarla, ossia scomporla nel prodotto di fattori più semplici. Ad esempio, il polinomio:

2x³ + 8x²y

può essere scomposto in fattori e riscritto nella forma 2x² (x + 4y). La determinazione dei fattori di un polinomio assegnato può essere più o meno intuitiva e, in alcuni casi, è necessario procedere per tentativi. Non tutti i polinomi, comunque, possono essere fattorizzati per mezzo di coefficienti reali; in questo caso si parla di polinomi primi.
Talvolta il raggruppamento dei termini simili può semplificare la fase di scomposizione in fattori.

8. Raccoglimento a Fattore Comune
È spesso conveniente isolare, se esiste, il massimo fattore comune a tutti i termini di un polinomio. Ad esempio, nell'espressione 9x³ + 18x², il numero 9 è un fattore comune a entrambi i termini, come pure x². Quindi si può scrivere 9x² (x + 2) dove 9x² è il massimo fattore comune dei termini del polinomio (in questo caso, un binomio). Analogamente, per il trinomio 6a²x³ + 9abx + 15cx², il numero 3 è il massimo fattore comune della parte numerica, ossia dei coefficienti 6, 9 e 15, mentre x è il massimo fattore comune della parte letterale. Così, il massimo fattore comune del trinomio risulta essere 3x.

9. Minimo Comune Multiplo
Per sommare due o più frazioni algebriche è necessario determinarne il minimo denominatore comune, che coincide con il minimo comune multiplo dei denominatori. Il procedimento è analogo a quello valido per le frazioni aritmetiche.

Anche in algebra, il minimo comune multiplo di diverse espressioni algebriche è l'espressione di grado minimo e con il minimo coefficiente che possa essere divisa senza resto per ciascuna delle espressioni assegnate. Così, per determinare il minimo comune multiplo delle espressioni algebriche 2x²y, 30x²y² e 9ay³ è necessario innanzitutto scomporre in fattori primi i tre termini: si osserva poi che il minimo comune multiplo della parte numerica si ottiene dal prodotto 2 · 3 · 3 · 5, che ha per risultato 90, poiché i fattori primi dei coefficienti numerici sono rispettivamente 2, 2 · 3 · 5, e 3 · 3. Per quanto riguarda la parte letterale, si osserverà innanzitutto che, comparendo una sola volta, la costante a va inclusa tra i fattori del minimo comune multiplo; tra le variabili, i fattori comuni e non, presi col massimo esponente, sono x² e y³, cosicché, in definitiva, il minimo comune multiplo delle tre espressioni risulta essere 90ax²y³.

10. Risoluzione delle Equazioni
Per la risoluzione di un'equazione algebrica, vale la regola generale, nota come principio di equivalenza, secondo la quale applicando le stesse operazioni aritmetiche o algebriche a entrambi i membri di un'equazione, l'uguaglianza rimane invariata. Per risolvere un'equazione, l’uso è di isolare l'incognita in uno dei due membri, in modo che la soluzione sia data dall'espressione dell'altro membro.

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