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2. Prime forme di Geometria Dimostrativa
L'etimologia del termine geometria, che deriva dal greco geo, "terra", e métrein, "misurare", fornisce una descrizione del lavoro dei primi geometri, i quali si occupavano principalmente di problemi quali la misurazione dell'estensione dei campi da coltivare e la determinazione accurata di angoli retti per realizzare gli spigoli degli edifici. Questo tipo di geometria empirica, che fiorì nell'antico Egitto, presso i sumeri e presso i babilonesi, venne in seguito raffinata dai greci, che ne diedero la prima formulazione sistematica. Nel VI secolo a.C. il matematico greco Pitagora pose le basi della geometria scientifica osservando che le numerose leggi arbitrarie e sconnesse della geometria empirica erano conseguenze logiche di un numero limitato di assiomi, o postulati. Questi postulati vennero considerati nell'ambito della scuola pitagorica come verità evidenti, mentre secondo l'impostazione matematica moderna sono ritenuti un gruppo di assunzioni convenienti, ma del tutto arbitrarie.
Dall'affermazione secondo cui "il percorso più breve che unisce due punti distinti è un segmento di retta" discende un gran numero di teoremi sulle proprietà di punti, rette, angoli, curve e piani, che tuttora costituiscono le nozioni fondamentali della geometria classica. Tra questi teoremi si ricorda quello che afferma che "la somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è pari alla somma di due angoli retti", e il celebre teorema di Pitagora, secondo cui in un triangolo rettangolo la somma del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. La teoria dimostrativa dei greci, che si occupò principalmente di poligoni e cerchi e delle corrispondenti figure tridimensionali, venne rigorosamente esposta dal matematico greco Euclide, negli Elementi, opera che, nonostante le imperfezioni, è stata, e praticamente continua a essere, un testo fondamentale per lo studio della geometria. asterpharmacy.com

3. Primi problemi geometrici
I problemi di costruzione, che consistono nel trovare il modo di disegnare una data figura geometrica con l'uso esclusivo di un righello e di un compasso, furono introdotti per la prima volta dai greci. Esempi di simili problemi sono la costruzione di un segmento doppio di un altro segmento di misura data, o della bisettrice di un angolo (la semiretta che divide un angolo in due angoli uguali). Per quanto alcuni di essi siano di semplice soluzione, tre antichi problemi di costruzione hanno impegnato generazioni e generazioni di matematici: la duplicazione del cubo (la costruzione di un cubo di volume doppio di quello di un cubo dato); la quadratura del cerchio (la costruzione di un cerchio di area uguale a quella di un quadrato assegnato); e la trisezione di un angolo (la divisione di un angolo in tre angoli uguali). Nessuna di queste costruzioni è realizzabile con il solo ausilio di un righello e di un compasso; ma solo nel 1882 fu definitivamente dimostrata in modo rigoroso l'impossibilità di quadrare il cerchio.
Spetta ad Apollonio di Perge il merito di aver introdotto e definito molte delle proprietà fondamentali della famiglia delle coniche, che sono curve generate dall'intersezione di un bicono circolare retto con un piano, importanti in molti campi della fisica: ad esempio, le orbite dei pianeti e degli altri corpi celesti del sistema solare sono ellissi.
Archimede, uno dei più grandi scienziati greci, diede numerosi importanti contributi allo sviluppo della geometria. Determinò l'area di figure piane curve, e la superficie e il volume di solidi delimitati da superfici curve, quali i paraboloidi e i cilindri. Egli ricavò inoltre un metodo di approssimazione per determinare il valore del numero pi greco (π), definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, e concluse che esso dovesse essere compreso tra 3 + 1/7 e 3 + 10/71.

4. Geometria Analitica
La geometria fece scarsi progressi nel periodo che seguì l'epoca d'oro dei greci, fino al termine del Medioevo. La svolta decisiva fu compiuta infatti dal filosofo e matematico francese René Descartes, che nella Geometria, pubblicata nel 1637, pose le basi della geometria analitica, un ramo della matematica che stabilisce l'importante collegamento tra algebra e geometria. Nell'ambito della geometria analitica è infatti possibile fornire una descrizione geometrica di problemi algebrici e, viceversa, determinare una formulazione, o eventualmente una soluzione, in termini algebrici, di problemi di natura geometrica.
Un ulteriore sviluppo del XVII secolo fu la ricerca delle proprietà delle figure geometriche che si conservano dopo aver eseguito la proiezione delle figure su piani diversi. Un semplice teorema della geometria proiettiva è illustrato in figura 1. Se si prendono i punti A, B, C e a, b, c su una qualunque conica, ad esempio una circonferenza, e si uniscono i punti A con b e c, B con c e a, e C con b e a, i tre punti in cui i segmenti corrispondenti si intersecano risultano allineati. Analogamente, se si tracciano sei tangenti su una conica, i segmenti che uniscono i punti generati dall'intersezione tra queste tangenti si incontrano in un unico punto. Questo problema si dice proiettivo, perché è vero per tutte le coniche, che possono essere considerate come diverse proiezioni di una stessa curva; ad esempio, la proiezione di una circonferenza su un piano determina un'ellisse.

5. Sviluppi recenti
La geometria ha avuto una svolta radicale nel XIX secolo. I matematici Carl Friedrich Gauss, Nikolaj Lobačevskij e Janos Bolyai svilupparono, l'uno indipendentemente dall'altro, sistemi coerenti di geometria non euclidea. Tali sistemi nacquero dalla discussione del quinto postulato di Euclide, che stabilisce l'unicità della parallela tracciata per un punto a una retta fissata, e giunsero alla definizione di modelli di spazio bizzarri e non intuitivi, ma pur sempre coerenti.
Il matematico britannico Arthur Cayley sviluppò la complessa geometria di spazi a più di tre dimensioni. Il principio di tale teoria può essere compreso con la seguente considerazione. Una retta costituisce uno spazio monodimensionale; se per ogni punto di questa retta se ne traccia un'altra, perpendicolare alla prima, si ottiene un piano, ossia uno spazio bidimensionale; se ancora si traccia una retta perpendicolare al piano per ogni suo punto, si giunge finalmente allo spazio a tre dimensioni. Lo spazio a quattro dimensioni si ottiene allora nello stesso modo, cioè tracciando una perpendicolare allo spazio per ogni suo punto; pur risultando questa un'operazione fisicamente impossibile e sconcertante per la mente, essa è concettualmente fondata. Il concetto di spazio a più di tre dimensioni conta un gran numero di applicazioni in fisica, in particolare nell'ambito della teoria della relatività che, accostando la coordinata temporale alle consuete coordinate spaziali, impiega un sistema a quattro dimensioni, noto come spazio-tempo, per la descrizione dell'evoluzione di un sistema fisico.
Lo studio delle proprietà delle figure geometriche a quattro o più dimensioni e del loro rapporto con quelle dello spazio tridimensionale è oggetto della geometria strutturale. Un esempio di questo approccio è la definizione delle figure più semplici che si possano disegnare nello spazio a zero, una, due, tre, quattro, o più dimensioni, rispettivamente. Nei primi quattro spazi elencati, le figure geometriche sono quelle familiari: il punto, la retta, il triangolo e il tetraedro. In uno spazio la figura più semplice è costituita da 5 vertici, 10 segmenti che ne costituiscono gli spigoli, 10 triangoli che ne costituiscono le facce, e cinque tetraedri (un tetraedro, utilizzando i medesimi principi di analisi di questo tipo di geometria, è costituito da quattro vertici, sei segmenti, e quattro triangoli).
Sempre nel XIX secolo si parlò per la prima volta di dimensione frazionaria. Questo concetto fu poi sviluppato a partire dal 1970 nell'ambito della geometria dei frattali.

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